carreras: Teorema Fundamental Del Calculo

cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ³ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:

= cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b.

Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a). Podemos definir = F(b) - F(a).

Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:

Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así = v(t₂) - v(t₁) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t₁y t₂.

Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera = [c](t₂) - [c](t₁) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t₁hasta el t₂.

Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineal es r(x) = m'(x). De esta manera = m(b) - m(a) es la masa del segmento de la varilla entre x = a y x = b.

Si la tasa de crecimiento de una población es entonces = p(t₂) - p(t₁) es el aumento de población durante el período desde t₁hasta t₂.

Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente = c(x₂) - c(x₁) es el incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x₁hasta x₂ unidades.

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , entonces su velocidad es v(t) = s'(t) de modo que = s(t₂) - s(t₁) es el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t₁hasta t₂.

Dado que la aceleración de un objeto es a(t) = v'(t), podemos asegurar que la expresión = v(t₂) - v(t₁) es el cambio en la velocidad en el instante t₁hasta el t₂.

La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir que P(t) = E'(t) y por lo tanto resulta = E(t₂) - E(t₁) indica la energía utilizada en el tiempo entre t₁y t₂.

La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.